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théorème de Fubini.md

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+up:: [[intégration]]
+#maths/intégration 
+
+> [!proposition]+ théorème de Fubini
+> Soient $(E, \mathcal{A}, \mu)$ et $(F, \mathcal{B}, \nu)$ deux [[espace mesuré|espaces mesurés]] tels que $\mu$ et $\nu$ soient [[mesure sigma finie|σ-finies]]
+> Soit $f$ [[fonction intégrable|intégrable]] sur $(E\times F, \mathcal{A} \otimes \mathcal{B}, \mu \otimes \nu)$ 
+>  1. pour presque tout $x \in E$ :
+>      - la fonction $y \mapsto f(x, y)$ est $\nu$-intégrable
+>      - la fonction $x \mapsto f(x, y)$ est $\mu$-intégrable
+>  2. échanger $x \longleftrightarrow y$ et $\mu \longleftrightarrow \nu$
+>  3. $\begin{align} \int_{E\times F} f \, d\mu \otimes \nu &= \int_{E} \left(  \int_{F} f(x, y) \, \nu(dx) \right) \, \mu(dy) \\&= \int_{F} \left(  \int_{E} f(x, y) \, \mu(dy) \right) \, \nu(dx) \end{align}$
+> 
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+# Exemples
+
+## Exemple 1
+$D = [0; +\infty[ \times [0; 1]$
+$\begin{align} f : \mathbb{R}^{2} &\to \mathbb{R} \\ (x, y) &\mapsto \cos(xy)e^{ -tx } \end{align}$ avec $t>0$
+On veut calculer $\displaystyle I = \int_{\mathbb{R}^{2}} f \mathbb{1}_{D} \, d\lambda _{2}$
+On a :
+$$
+\begin{align} 
+\int_{\mathbb{R}^{2}} \left| f\mathbb{1}_{D} \right|  \, d\lambda _{2} &\leq  \int_{\mathbb{R}^{2}} e^{ -tx } \mathbb{1}_{D}(x, y) \, dx dy \\
+&\leq  \int_{0}^{+\infty} \left( \int_{0}^{1} e^{ -tx } \, dy  \right) \, dx \\
+&\leq  \int_{0}^{+\infty} e^{ -tx } \, dx = \frac{1}{t}  \\
+&\leq  +\infty & \text{car } t > 0
+\end{align}
+$$
+Donc $f\mathbb{1}_{D}$ est intégrable
+
+$$
+\begin{align} 
+I &= \int_{\mathbb{R}^{2}} f \mathbb{1}_{D} \, d\lambda _{2} \\
+&= \int_{0}^{+\infty} \left( \int_{0}^{1} \cos(xy)e^{ -tx } \, dy  \right) \, dx \\
+&= \int_{0}^{+\infty} e^{ -tx } \left[ \frac{\sin(xy)}{x} \right]_{0}^{1}  \, dx \\
+&= \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin(x)}{x}e^{ -tx } \, dx 
+\end{align}
+$$
+Mais on a aussi :
+$$
+\begin{align} 
+I &= \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{+\infty} \cos(xy)e^{ -tx } \, dx  \right) \, dy \\
+&= \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{+\infty} \Re(e^{ ixy }) e^{ -tx } \, dx  \right) \, dy \\
+&= \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{+\infty} \Re(e^{ ixy } e^{ -tx }) \, dx  \right) \, dy \\
+&= \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{+\infty} \Re(e^{ - x (t - iy)} ) \, dx  \right) \, dy \\
+&= \arctan\left( \frac{1}{t} \right)
+\end{align}
+$$