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théorème d'isomorphisme.md

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+up:: [[théorème de factorisation des morphismes]]
+#maths/algèbre 
+
+> [!proposition]+ théorème d'isomorphisme
+> Soit $f : G \to G'$ un morphisme de groupes
+> Alors $G / (\ker f) \simeq \mathrm{im} f$
+> - ! On a pas en général $G \simeq \ker f \times \operatorname{im} f$
+>     - = $\mathfrak{S}_{3}$ est non-commutatif, mais $\mathfrak{A}_{3} \times \{ Id \}$ est commutatif
+> 
+> > [!démonstration]- Démonstration
+> > - i Ce théorème peut être vu comme un corollaire du [[théorème de factorisation des morphismes]]
+> > 
+> > On applique le [[théorème de factorisation des morphismes]] avec $H := \ker f \trianglelefteq G$
+> > > le morphisme $\bar f : G / \ker f \to \mathrm{im} f$ est injectif car $H = \ker f$, et est surjectif car $\mathrm{im}\bar f = \mathrm{im} f$
+^theoreme
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