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signature d'une permutation.md

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+aliases:
+  - signature
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 up::[[permutation]]
 #maths/algèbre 
 
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-Soit $s$ une [[permutation]].
-Soit $k$ le nombre de [[transposition|transpositions]] dans la [[décomposition en produit de transpositions]] de s.
-La _signature_ de $s$ est $\varepsilon(s) = (-1)^k$, soit $\varepsilon(s) = \left\{\begin{gathered}1\text{ si } k\in2\mathbb Z\\ -1\text{ sinon}\end{gathered}\right.$
+> [!definition] Définition
+> Soit $s$ une [[permutation]].
+> Soit $k$ le nombre de [[transposition|transpositions]] dans la [[décomposition en produit de transpositions]] de s.
+> La _signature_ de $s$ est $\varepsilon(s) = (-1)^k$, soit $\varepsilon(s) = \left\{\begin{gathered}1\text{ si } k\in2\mathbb Z\\ -1\text{ sinon}\end{gathered}\right.$
+^definition
 
-dans $\mathfrak S$.$\varsigma$
 
-# Exemple
-Soit $s = (1, 4, 7, 2, 8, 3, 5, 6)$ (ici, $s$ est un [[k-cycle|8-cycle]])
-La [[décomposition en produit de transpositions]] de $s$ est :
-$s = (1,4)\circ(4, 7)\circ(7,2)\circ(2,8)\circ(8,3)\circ(3,5)\circ(5,6)\circ(6,1)$
-Ici, il y a 
-
-# propriétés
+# Propriétés
  - la signature de la composée est le produit des signatures
      - Soient $s$ et $s'$ deux permutations, $\varepsilon$
 
@@ -25,6 +23,19 @@ Ici, il y a
      - $\vdots$
      - Signature d'un p-cycle : $(-1)^{p-1}$
 
+> [!proposition]+ La signature est un morphisme
+> La fonction $\varepsilon$ qui à une permutation associe sa signature :
+> $\varepsilon : \mathfrak{S}_{n} \to \{ -1; 1 \}$
+> est un [[morphisme]] [[injection|injectif]] de $(\mathfrak{S}_{n}, \circ) \to (\{ -1; 1 \}, \times)$.
+> Le [[noyau d'un morphisme de groupes|noyau de ce morphisme]] est $\mathfrak{A}_{n}$ le [[groupe alterné]]
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+# Exemple
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+> [!example] Exemple
+> Soit $s = (1, 4, 7, 2, 8, 3, 5, 6)$ (ici, $s$ est un [[k-cycle|8-cycle]])
+> La [[décomposition en produit de transpositions]] de $s$ est :
+> $s = (1,4)\circ(4, 7)\circ(7,2)\circ(2,8)\circ(8,3)\circ(3,5)\circ(5,6)\circ(6,1)$
+
 # Méthodes de calcul
 Soit $\sigma\in\mathfrak S_7$
 $\sigma = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7\\ 1 & 7 & 6 & 4 & 3 & 5 & 2\end{pmatrix}$