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normalisateur d'une partie d'un groupe.md

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+aliases:
+  - normalisateur
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 up:: [[groupe]]
 sibling:: [[centralisateur d'une partie d'un groupe]]
 #maths/algèbre 
@@ -10,5 +14,23 @@ sibling:: [[centralisateur d'une partie d'un groupe]]
 
 # Propriétés
 
+> [!proposition]+ Le normalisateur et sous groupe distingué
+> Soit $G$ un groupe et $H < G$
+> Soit $N_{G}(H)$ est le [[normalisateur d'une partie d'un groupe|normalisateur]] de $H$ dans $G$
+> Alors $\boxed{H \trianglelefteq N_{G}(H)}$
+> De plus, $N_{G}(H)$ est le plus grand sous groupe de $G$ dans lequel $H$ est distingué
+> 
+> > [!démonstration]- Démonstration
+> > $N_{G}(H) = \{ g \in G \mid g H = Hg \}$
+> > On sait que c'est un sous groupe de $G$.
+> > - $\forall g \in N_{G}(H),\quad g^{-1} H g = g^{-1} g H = H \subseteq H$
+> > donc $H \trianglelefteq N_{G}(H)$
+> > - Soit $K < G$ tel que $H \trianglelefteq K$
+> > On veut montrer que $K \subseteq N_{G}(H)$
+> > On a $H \trianglelefteq K$ donc $\forall k \in K,\quad kH=Hk$
+> > ainsi $\forall k \in K,\quad k \in N_{G}(H)$
+> > et donc $K \subseteq N_{G}(H)$
+^distingue
+
 # Exemples