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mesure produit.md

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+up:: [[mesure positive d'une application|mesure]], [[tribu produit]]
+#maths/intégration 
+
+> [!definition] Définition
+> Soient $(E, \mathcal{A}, \mu)$ et $(F, \mathcal{B}, \nu)$ deux [[espace mesuré|espaces mesurés]] que l'on suppose [[mesure sigma finie|σ-finis]]
+> Il existe une unique [[mesure positive d'une application|mesure]] $m$ sur $(E \times A, \mathcal{A}\otimes \mathcal{B})$ l'[[tribu produit|espace produit]] telle que $\forall A \in \mathcal{A}, \forall B \in \mathcal{B},\quad m(A \times B) = \mu(A) \nu(B)$ avec la convention $0 \times (+\infty) = 0$
+> On note alors $m = \mu \otimes \nu$ et on appelle cette mesure la **mesure produit** de $\mu$ et $\nu$
+^definition
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+[[démonstration de l'unicité de la mesure produit]]
+
+# Propriétés
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+> [!proposition]+ Associativité
+> Soient $\mu, \nu, \eta$ trois [[mesure positive d'une application|mesures]], on a :
+> $(\mu \otimes \nu) \otimes \eta = \mu \otimes (\nu \otimes \eta)$
+> autrement dit, $\otimes$ est [[associativité|associative]]
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+# Exemples
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+> [!example] [[tribu borélienne|boréliens]] avec la [[mesure de Lebesgue]]
+> $(\mathbb{R} \times \mathbb{R}, \underbrace{\mathcal{B(\mathbb{R})} \otimes \mathcal{B(\mathbb{R})}}_{\mathcal{B}(\mathbb{R}^{2})}, \lambda \otimes \lambda)$
+> 
+> Et, plus généralement :
+> 
+> $(\mathbb{R}^{n}, \mathcal{B}(\mathbb{R}^{n}), \lambda^{\otimes n})$