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Oscar Plaisant
2024-12-17 18:49:14 +01:00
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@@ -36,7 +36,7 @@ up:: [[sous groupe engendré]]
>
> > [!démonstration]- Démonstration
> > Soit $G$ un groupe monogène, et soit $x$ un générateur de $G$
> > - on suppose $\#G$ infini.
> > - on suppose $\#G = \infty$.
> > On considère alors l'application
> > $\begin{align} f: \mathbb{Z} &\to G\\ n &\mapsto x^{n} \end{align}$
> > Montrons que $f$ est un [[morphisme de groupes]] :
@@ -48,9 +48,20 @@ up:: [[sous groupe engendré]]
> > De plus, $f$ est surjective par définition d'un groupe monogène.
> > Ainsi, $f$ est un morphisme injectif et surjectif, c'est-à-dire un [[isomorphisme]].
> > Autrement dit, $\mathbb{Z} \simeq G$
> >
> > - On suppose $n := \#G \in \mathbb{N}$ (donc $\#G$ fini)
> > Soit $g \in G$ un générateur de $G$
> > Par hypothèse, $\left< g \right> = G$ est d'ordre $n$, donc $o(g) = n$
> > On considère :
> > $\begin{align} f : \mathbb{Z} &\to G \\ k &\mapsto g^{k }\end{align}$
> > - $f$ est un morphisme car $g^{k+k'} = g^{k}g^{k'}$
> > - $f$ est surjetif car $G = \left< g \right> = \{ g^{k} \mid k \in \mathbb{Z} \}$
> > - $\ker f = n\mathbb{Z}$ car $k \in \ker f \iff g^{k} = 1 \iff o(g) | k \iff n|k \iff k \in n\mathbb{Z}$
> > Ainsi, par le [[théorème d'isomorphisme]], on a $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \simeq G$
> >
^isomorphisme-groupes-monogenes
# Exemples
> [!example] $\mathbb{Z}$