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groupe dérivé.md

@@ -23,5 +23,24 @@ up:: [[commutateur d'un groupe]]
 > > $\begin{align} \forall g, h \in G,\quad [g, h] \in D(G) = \{ 1 \} &\implies [g, h] = 1 \\&\implies ghg^{-1}h^{-1} = 1 \\&\implies hgh^{-1} = h \\&\implies gh = hg  \end{align}$
 > > Donc, tout élément de $G$ commute, c'est-à-dire que $G$ est abélien
 
+> [!proposition]+ Le groupe dérivé est [[sous groupe distingué|distingué]]
+> Soit $G$ un groupe
+> $D(G) \trianglelefteq G$ (le groupe dérivé de $G$ est [[sous groupe distingué|distingué]] dans $G$)
+> 
+> > [!démonstration]- Démonstration
+> > $D(G) = \left< [g, h] \mid g, h \in G \right>$ où $[g, h] = ghg^{-1}h^{-1}$
+> > On sait que le groupe dérivé est un sous-groupe.
+> > Il suffit donc de montrer que $\forall a \in G, \forall g, h \in G,\quad a[g, h]a^{-1} \in D(G)$
+> > On a
+> > $$\begin{align} 
+> > a[g, h]a^{-1} &= aghg^{-1}h^{-1}a^{-1} \\
+> > &= (aga^{-1})(aha^{-1})(ag^{-1}a^{-1})(ah^{-1}a^{-1}) \\
+> > &= (aga^{-1})(aha^{-1})(aga^{-1})^{-1}(aha^{-1})^{-1} \\
+> > &= [aga^{-1}, aha^{-1}] \\
+> > &\in D(G) \qquad\text{car } aga^{-1} \in G \text{ et } aha^{-1} \in G
+> > \end{align} $$
+> > Ainsi, on a bien $D(G) \trianglelefteq G$
+^distingue
+
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