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fonction mesurable.md

@@ -14,17 +14,31 @@ up:: [[fonction]], [[espace mesurable]]
 > $\forall B \in \mathcal{B}, f^{-1}(B) \in \mathcal{A}$
 ^definition
 
-> [!proposition]
+# Propriétés
+
+> [!proposition] 
 > $f : (E, \mathcal{A}) \to (F, \mathcal{B})$ avec $\mathcal{B} = \sigma(\mathcal{E})$ et $\mathcal{E} \subset \mathscr{P}(F)$
 > $f$ est mesurable $\iff \forall B \in \mathcal{E}, \quad f^{-1}(B) \in \mathcal{A}$
 > > [!démonstration]- Démonstration
 > > - $\implies$ évident, car $\mathcal{E} \subset \mathcal{B}$
 > > - $\impliedby$ $\mathcal{A}$ contient $f^{-1}(E)$, donc $\mathcal{A}$ contient $\sigma(f^{-1}(\mathcal{E})) = f^{-1}(\sigma(\mathcal{E})) = f^{-1}(\mathcal{B})$
+ 
+> [!proposition]+ applications mesurables réelles
+> Soit $f$ une application de $(E, \mathcal{A})$ à valeurs dans $\mathbb{R}$
+> Alors $f$ est mesurable si et seulement si une des conditions suivantes est respectée :
+> 1. $\forall a \in \mathbb{R},\quad \{ x \in E \mid f(x) < a \} \in \mathcal{A}$
+> 2. $\forall a \in \mathbb{R},\quad \{ x \in E \mid f(x) \leq a \} \in \mathcal{A}$
+> 3. $\forall a \in \mathbb{R},\quad \{ x \in E \mid f(x) > a \} \in \mathcal{A}$
+> 4. $\forall a \in \mathbb{R},\quad \{ x \in E \mid f(x) \geq a \} \in \mathcal{A}$
 > 
-> > [!corollaire]
-> > $\,$
+> > [!démonstration]- Démonstration
+> > Chacune des classes suivantes de parties de $\mathbb{R}$ :
+> > $\{ ]-\infty; a] \mid a \in \mathbb{R} \}; \quad \{ ]-\infty; a[ \mid a \in \mathbb{R} \}; \quad \{ [a; +\infty[ \mid a \in \mathbb{R} \}; \quad \{ ]a; +\infty[ \} \mid a \in \mathbb{R}$
+> > engendre $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ la tribu des boréliens.
+> > 
+> > De là suit que $f$ est mesurable si et seulement si leur image par $f$ est inclue dans $\mathcal{A}$
 
-> [!proposition] 
+> [!proposition] La composée de fonctions mesurables est mesurable
 > Soient $(E, \mathcal{A})$, $(F, \mathcal{B})$ et $(G, \mathcal{C})$ 3 [[espace mesurable|espaces mesurables]]
 > Soient $f: E \to F$ et $g: F \to G$ deux fonctions mesurables
 > Alors $g \circ f$ est mesurable de $(E, \mathcal{A})$ dans $(G, \mathcal{C})$
@@ -32,12 +46,21 @@ up:: [[fonction]], [[espace mesurable]]
 > > Soit $C \in \mathcal{C}$
 > > $(g \circ f)^{-1}(C) = f^{-1}(\underbrace{g^{-1}(C)}_{\in \mathcal{B}}) \in \mathcal{A}$
 
-> [!proposition]
+> [!proposition] Mesurabilité et projections
 > Soient $(F_1, \mathcal{B}_{1})$ et $(F_2, \mathcal{B}_{2})$ deux espaces mesurables
-> Soit $\begin{align} p_{i}: F_1\times F_2 \to F_{i} \\& (x_1, x_2) \mapsto x_{i} \end{align}$ la projection sur $F_{i}$
+> Soit $\begin{align} p_{i}: &F_1\times F_2 \to F_{i} \\& (x_1, x_2) \mapsto x_{i} \end{align}$ la projection sur $F_{i}$ pour $i \in \{ 1, 2 \}$
 > On munit $F_1 \times F_2$ de la tribu produit $\mathcal{B}_{1} \otimes \mathcal{B}_{2}$
 > 1. $p_{i}$ est mesurable de $(F_1\times F_2, \mathcal{B}_{1}\otimes \mathcal{B}_{2})$ dans $(F_{i}, \mathcal{B}_{i})$
 > 2. Soit $f : (E, \mathcal{A}) \to (F_1 \times F_2, \mathcal{B}_{1} \otimes \mathcal{B}_{2})$, alors $f$ est mesurable ssi $p_{1}\circ f$ est mesurable et $p_2 \circ f$ est mesurable
+> 
+> > [!démonstration]- Démonstration
+> > 1. $\forall B_1 \in \mathcal{B}_{1}$ on a $p_1^{-1}(B_1) = B_1 \times F_2 \in \mathcal{B}_{1} \otimes \mathcal{B}_{2}$ et donc $p_1$ est bien mesurable
+> > On montre de la même manière que $p_2$ est mesurable
+> > 2. Si $f$ est mesurable, et puisque $p_1$ et $p_2$ sont mesurables, alors $f \circ p_i$ et $p_{i} \circ f$ sont évidemment mesurables.
+> > Réciproquement, supposons que $p_1 \circ f$ et $p_2 \circ f$ soient mesurables.
+> > Alors $\forall B_1 \in \mathcal{B}_{1}$, on sait que $(p_1 \circ f)^{-1}(B_1) = f^{-1}(B_1 \times F_2) \in \mathcal{A}$.
+> > De la même manière, $\forall B_2 \in \mathcal{B}_{2},\quad (p_2 \circ f)^{-1}(B_2) = f^{-1}(F_1 \times B_2) \in A$
+> >     
 
 
 # Exemples