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fonction de répartition d'une mesure de probabilités.md

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+up:: [[mesure de probabilité]]
+#maths/intégration #maths/probabilités 
+
+> [!definition] Définition
+> Soit $\mu$ une [[mesure de probabilité]] sur $\mathbb{R}$
+> On lui associe sa **fonction de répartition** :
+> $\begin{align} F : \mathbb{R} &\to [0; 1] \\ t &\mapsto F(t) = \mu(]-\infty; t]) \end{align}$
+^definition
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+# Propriétés
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+# Exemples
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+## Exemple 1
+Soit $\mu = \frac{3}{4}\delta _{1} + \frac{1}{4}\delta _{0}$
+Sa fonction de répartition est :
+$F(t) = \begin{cases} 0 \text{ si } t < 0\\ \frac{1}{4} \text{ si } t \in [0; 1[ \\ 1 \text{ si } t \geq 1 \end{cases}$
+![[fonction de répartition d'une mesure de probabilités 2024-11-20 15.00.13.excalidraw|500]]
+
+## Exemple 2
+Soit $\mu$ une mesure de densité $f(x) = 2e^{ -2x }\mathbb{1}_{\mathbb{R}^{+}}(x)$ par rapport à $\lambda$
+- i $\mu(\mathbb{R}) = \int_{\mathbb{R}} 1 \, \mu(dx) = \int_{\mathbb{R}} f(x) \, dx = \int_{0}^{+\infty} 2e^{ -2x } \, dx = 1$ donc $\mu$ est bien une mesure de probabilités
+On cherche $F$ la fonction de répartition de la mesure $\mu$.
+Soit $t \in \mathbb{R}$
+$$\begin{align} 
+F(t) &= \mu(]-\infty; t]) \\
+&= \int_{\mathbb{R}} \mathbb{1}_{]-\infty; t]}(x) f(x) \, dx \\
+&= \int_{\mathbb{R}} \mathbb{1}_{]-\infty; t]}(x)\mathbb{1}_{\mathbb{R}^{+}}(x) 2e^{ -2x } \, dx  \\
+&= \begin{cases} 0 \text{ si } t < 0 \\ \int_{0}^{t} 2e^{ -2t } \, dt  \text{ si } t \geq  0\end{cases} \\
+&= \begin{cases} 0 \text{ si } t < 0 \\ 1 - e^{ -2t } \text{ si } t \geq  0 \end{cases}
+\end{align}$$
+![[fonction de répartition d'une mesure de probabilités 2024-11-20 15.21.29.excalidraw|500]]