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espace vectoriel réel.md

@@ -11,7 +11,10 @@ up::[[espace vectoriel]]
 > Soit $E = \mathbb{R}^{n}$ l'espace vectoriel muni de la [[norme infini]] $\|\cdot\|_{\infty}$, c'est-à-dire :
 > $\|x\|_{\infty} = \max \{ |x_1|, |x_2|, \dots, |x_{n}| \}$)
 > Soit $F$ un [[espace vectoriel normé]] quelconque
-> Alors n'importe quelle [[application linéaire]] $f : \mathbb{R}^{n} \to F$ est [[fonction continue|continue]]
+> Alors une [[application linéaire]] :
+> $f : (\mathbb{R}^{n}, \|\cdot\|_{\infty}) \to (F, \|\cdot\|_{F})$
+> est toujours [[application linéaire continue|continue]]
+> 
 > > [!démonstration]- Démonstration
 > > Soit $e_1, \dots, e_{n}$ la base canonique de $\mathbb{R}^{n}$
 > > On note $f_1 = f(e_1) \quad f_2 = f(e_2) \quad \cdots f_{n} = f(e_{n})$
@@ -19,7 +22,7 @@ up::[[espace vectoriel]]
 > > $\begin{align} \|f(x)\|_{F} &= \|x_1f_1 + \cdots + x_{n}f_{n}\|_{F} \\&\leq \|x_1f_1\|_{F} + \|x_2f_2\|_{F} + \cdots + \|x_{n}f_{n}\|_{F} \\&\leq |x_1|\|f_1\|_{F} + \cdots + |x_{n}|\|f_{n}\|_{F} \\&\leq \|x\|_{\infty} (\underbrace{ \|f_1\|_{F} + \cdots + \|f_{n}\|_{F} }_{C}) \end{align}$
 > > Donc, il existe un $C$ tel que $\forall x \in \mathbb{R}^{n},\quad \|f(x)\|_{F} \leq C \|x\|_{\infty}$
 > > $f$ est donc continue
-
+^continuite-norme-infini
 
 # Exemples