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ensemble quotient.md

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+up:: [[groupe]]
+#maths/algèbre 
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+> [!definition] Définition
+> Soit $G$ un groupe
+> Soit $H < G$ un [[sous groupe]] de $G$
+> Les **ensembles quotient** sont :
+> $G/H := \{ g H | g \in G \}$ (ensemble des classes à gauche)
+> $H \backslash G := \{ Hg | g \in G \}$ (ensemble des classes à droite)
+^definition
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+# Propriétés
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+> [!proposition]+ Les éléments du quotient sont disjoints
+> Si $G / H = \{ g_1H, \dots, g_{n}H \}$
+> alors $\displaystyle G = \bigsqcup_{i = 1}^{n} (g_{i} H )$
+> 
+> > [!démonstration]- Démonstration
+> > Cela est évident quand on considère que l'appartenance à une même classe $g_i H$ est une relation d'équivalence.
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+# Exemples
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