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démonstration de l'unicité de la mesure produit.md

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+up:: [[mesure produit]]
+#démonstration #maths/intégration 
+
+> [!lemme] 
+> Soient $(E, \mathcal{A}, \mu)$ et $(F, \mathcal{B}, \nu)$ deux [[espace mesuré|espaces mesurés]] que l'on suppose [[mesure sigma finie|σ-finis]]
+> Soit $C \in \mathcal{A} \otimes \mathcal{B}$ 
+> Notons, pour $x \in E,\quad y \in F$ :
+> - $C_{x} := \{ y \in F \mid (x, y) \in C \}$ les sections verticales de $C$
+> - $C^{y} := \{ x \in E \mid (x, y) \in C \}$ les sections horizontales de $C$
+> ![[cours L3.intégration 2024-11-13 14.35.12.excalidraw]]
+> 
+> On a alors :
+> $C_{x} \in \mathcal{B}$ et $C^{y} \in \mathcal{A}$
+> 
+> > [!démonstration]- Démonstration
+> > Soit $\mathscr{C}$ l'ensemble des ensembles $C \in \mathcal{A} \otimes \mathcal{B}$ tels que $\forall x \in E, \forall  y \in F,\quad C_{x} \in \mathcal{B} \wedge C^{y} \in \mathcal{A}$
+> > - $\mathscr{C} \subset \mathcal{A} \otimes \mathcal{B}$ par définition
+> > - $R \subset \mathscr{C}$ , en effet :
+> > si $C \in R$, alors $\exists A \in \mathcal{A}, \exists B \in \mathcal{B},\quad C = A \times B$
+> > Si $x \in E,\quad C_{x} = \begin{cases} \emptyset \text{ si } x \notin A\\ B \text{ si } x \in A \end{cases}$
+> > Si $y \in F,\quad C^{y} = \begin{cases} \emptyset \text{ si } y \notin B\\ A \text{ si } y \in B \end{cases}$
+> > - $\mathscr{C}$ est une tribu sur $E \times F$
+> > On remarque que $(C_{x})^{\complement} = (C^{\complement})_{x}$ et que $\displaystyle \bigcup _{n \in \mathbb{N}} C_{x}^{(n)} = \left( \bigcup _{n \in \mathbb{N}} C^{(n)} \right)_{x}$
+> > 
+
+
+> [!proposition]+ Théorème
+> Soient $(E, \mathcal{A}, \mu)$ et $(F, \mathcal{B}, \nu)$ deux [[espace mesuré|espaces mesurés]] que l'on suppose [[mesure sigma finie|σ-finis]]
+> 
+> 1. Il existe une unique mesure $m$ sur $(E\times F, \mathcal{A} \otimes \mathcal{B})$ telle que $\forall A \in \mathcal{A}, \forall B \in \mathcal{B},\quad m(A \times B) = \mu(A) \nu(B)$ avec la convention $0 \times (+\infty) = 0$
+> Cette mesure est [[mesure sigma finie|sigma-finie]].
+> On la note $\mu \otimes \nu$ et on l'appelle **mesure produit**
+> 2. Pour tout $C \in \mathcal{A} \otimes \mathcal{B}$
+>     - l'application $\begin{align} E &\to \overline{\mathbb{R}^{+}}\\ x &\mapsto \nu(C_{x}) \end{align}$  est mesurable positive sur $(E, \mathcal{A}) \to (\overline{\mathbb{R}}_{+}, \mathcal{B}(\overline{\mathbb{R}}_{+}))$
+>     - l'application $\begin{align} F &\to \overline{\mathbb{R}^{+}}\\ y &\mapsto \nu(C^{y}) \end{align}$  est mesurable positive sur $(E, \mathcal{A}) \to (\overline{\mathbb{R}}_{+}, \mathcal{B}(\overline{\mathbb{R}}_{+}))$
+> et
+> $\displaystyle(\mu \otimes \nu)(C) = \int_{E} \nu(C_{x}) \, \mu(dx) = \int_{F} \mu(C^{y}) \, \nu(dy) \qquad (*)$
+> 
+> > [!info]- autres écritures de $(*)$
+> > $(*)$ s'écrit aussi :
+> > $\begin{align} \int_{E \times F} \mathbb{1}_{C} \, d\mu \otimes \nu &= \int_{E} \left( \int_{F} \mathbb{1}_{C_{x}}(y) \, \nu(dy) \right) \, \mu(dx) \\ &= \int_{F} \left( \int_{E} \mathbb{1}_{C^{y}}(x) \, \mu(dx) \right) \, \nu(dy) \end{align}$
+> > ou encore :
+> > $\begin{align} \int_{E\times F} \mathbb{1}_{C} \, d\mu \otimes \nu &= \int_{E} \left( \int_{F} \mathbb{1}_{C}(x, y) \, \nu(dy) \right) \, \mu(dx) \\&= \int_{F} \left( \int_{E} \mathbb{1}_{C}(x, y) \, \mu(dx) \right) \, \nu(dy) \end{align}$ 
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