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cours L3.intégration.md

@@ -8,33 +8,12 @@ up:: [[cours L3]]
 # 1 - [[cours L3.intégration|tribus]]
 ## 1.1 - Rappels
 - [[ensemble des parties d'un ensemble]]
-- ensembles [[ensemble infini dénombrable|dénombrables]] et [[ensemble infini non dénombrable|non dénombrables]]
+- [[ensemble infini dénombrable|ensembles dénombrables]] 
+ - [[ensemble infini non dénombrable|ensembles non dénombrables]] 
 
 ## 1.2 - opérations sur les ensembles
-> [!definition]- Définition des opérations
-> Soit $E$ un ensemble
-> Soient $A$ et $B$ dans E
-> 
-> - $A \cup B = \{ x \in E \;|\; x \in A \vee x \in B \}$
-> - $A \cap B = \{ x \in E \mid x \in A \wedge x \in B \}$
-> - $A^{C} = \{ x \in E \mid x \notin A \}$
-
-> [!proposition]- Propriétés des ensembles
-> - $\cup$ et $\cap$ sont [[associativité|associatives]]
->     - $(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$
->     - $(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$
-> - [[distributivité]]
->     - $(A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C)$
->     - $(A \cap B) \cup C = (A \cup C) \cap (B \cup C)$
-> - le [[complémentaire d'un ensemble]] est un morphisme sur $\cap$ et $\cup$
->     - $(A \cap B)^{C} = A^{C} \cup B^{C}$
->     - $(A \cup B)^{C} = A^{C} \cap B^{C}$
-
-> [!proposition]- image réciproque
-> 
-> [[application réciproque|réciproque]]
-> Soit $f : E \to F$
-> Soit $B \subset F$ l'image réciproque de $A$ par $F$, notée $B = f^{-1}(A)$
+- [[ensemble|ensembles]]
+- [[image réciproque d'un ensemble]]
 
 > [!example]- Exemple
 > 
@@ -46,14 +25,16 @@ up:: [[cours L3]]
 
 ## 1.3 - Définition et premières propriétés
 
+
+
 - [[tribu]]
-    - [[tribu engendrée par un ensemble|tribu engendrée]] $\sigma(\mathcal{E})$
-    - [[tribu image réciproque]] $f^{-1}(\mathcal{A})$
+    - [[tribu engendrée par un ensemble|tribu engendrée σ(ℰ)]]
+    - [[tribu image réciproque|tribu image réciproque f⁻¹(𝒜)]]
     - [[tribu borélienne]]
 - [[espace mesurable]]
 - [[fonction mesurable]]
 
-# 2 - [[cours L3.intégration|mesures postitives]]
+# 2 - mesures positives
 On s'intéresse uniquement aux mesures **positives**.
 On ne parlera donc jamais de mesures négatives, et on ne précisera pas que les mesures que l'on considère sont toujours positives.
 
@@ -109,11 +90,11 @@ $\boxed{\displaystyle \int_{E} f \, d\mu = \sum\limits_{k \in K} \alpha _{k}f(a_
 
 # 5 - Théorèmes limites et applications
 
-## Lemme de Fatou
+## 5.1 - Lemme de Fatou
 
 - [[lemme de Fatou]]
 
-## Ensembles et fonctions négligeable
+## 5.2 - Ensembles et fonctions négligeable
 - [[inégalité de Markov]]
 
 
@@ -123,3 +104,33 @@ $\boxed{\displaystyle \int_{E} f \, d\mu = \sum\limits_{k \in K} \alpha _{k}f(a_
     - [[fonctions égales presque partout|fonctions égales presque partout]]
     - [[suite de fonctions convergente presque partout|suite de fonctions convergente presque partout]]
 - [[théorème de convergence dominée]]
+
+# 6 - 
+
+## 6.1 - ?
+## 6.2 - Transformée de Fourier d'une application
+
+- [[transformée de Fourier]]
+
+
+
+# 7 - Intégrales multiples
+
+## 7.1 - mesure produit
+
+
+
+> [!info] Rappel : [[tribu produit]]
+> $R = \{  A \times B \subset E \times F \mid A \in \mathcal{A} \wedge B \in \mathcal{B} \}$ l'ensemble des rectangles dont les bases sont resp. dans $\mathcal{A}$ et $\mathcal{B}$
+> La [[tribu produit]] de $\mathcal{A}$ et $\mathcal{B}$ est définie comme :
+> $\mathcal{A} \otimes \mathcal{B} = \sigma(R)$
+> C'est une tribu sur $E \times F$
+
+## 7.2 - Théorèmes de Tonelli et Fubini
+
+- [[théorème de tonelli]]
+
+# 8 -
+
+## 8.2 Cas général
+