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action de groupe.md

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+aliases:
+  - action
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+up:: [[groupe]]
+#maths/algèbre 
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+> [!definition] Définition
+> Soit $G$ un groupe et $X$ un ensemble tels que $G \subset X$
+> Une **action de groupe de $G$ sur $E$** est une application :
+> $\begin{align} G \times X &\to X \\ (g, x) &\mapsto g \cdot x \end{align}$
+> qui vérifie :
+> 1. $\forall x \in X,\quad 1_{G} \cdot x = x$ (élément neutre)
+> 2. $\forall (g, g') \in G,\quad \forall x \in X,\quad g' \cdot \underbrace{(g \cdot x)}_{\in X} = \underbrace{(g'g)}_{\in G} \cdot x$ (associativité)
+^definition
+
+# Propriétés
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+> [!proposition]+ Morphisme associé
+> Soit $\cdot$ une action du groupe $G$ sur $X$
+> La donnée de $\cdot$ est équivalente à la donnée d'un morphisme de $G$ dans le [[Groupe des bijections]]
+# Exemples
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