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.trash/groupe des permutations.md

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+up:: [[permutation]]
+#maths/algèbre 
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+> [!definition] Définition
+> On note $(\mathfrak{S}_{n}, \circ)$ le groupe des permutations de $n\geq 1$ éléments.
+^definition
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+# Propriétés
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+> [!proposition]+ La signature est un morphisme
+> La fonction $\varepsilon$ qui à une permutation associe sa signature :
+> $\varepsilon : \mathfrak{S}_{n} \to \{ -1; 1 \}$
+> est un [[morphisme]] [[injection|injectif]] de $(\mathfrak{S}_{n}, \circ) \to (\{ -1; 1 \}, \times)$.
+> Le [[noyau d'un morphisme de groupes|noyau de ce morphisme]] est $\mathfrak{A}_{n}$ le [[groupe alterné]]
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+# Exemples
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+$\mathfrak S_2 = \left\{ \begin{pmatrix}1&2\\1&2\end{pmatrix}; \begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix} \right\}$
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+$\mathfrak S_3 = \left\{ \begin{pmatrix}1&2&3\\1&2&3\end{pmatrix}; \begin{pmatrix}1&2&3\\1&3&2\end{pmatrix}; \begin{pmatrix}1&2&3\\2&1&3\end{pmatrix}; \begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{pmatrix}; \begin{pmatrix}1&2&3\\3&1&2\end{pmatrix}; \begin{pmatrix}1&2&3\\3&2&1\end{pmatrix}\right\}$
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