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réduction de Gauss d'une forme quadratique.md

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+up:: [[forme quadratique]]
+title:: "somme de carrés de combinaisons linéaires : $\pm\left( ax_1+bx_2+cx_3 \right)^{2} \pm \left( dx_2 + ex_3 \right)^{2} \pm fx_3^{2}$"
+author:: [[Carl Friedrich Gauss]]
+#maths/algèbre 
+
+---
+
+> [!definition] Forme de Gauss d'une forme quadratique
+> La forme de Gauss d'une [[forme quadratique]] est une façon d'écrire la forme quadratique comme un polynôme en **somme de carrés** de combinaisons linéaires de ses variables.
+> 
+> Cela permet de déterminer facilement la [[forme quadratique positive|positivité]] et le signe de la forme quadratique.
+^definition
+
+> [!example] Exemple 
+> Soit cette forme quadratique : $\psi \left( \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} \right) = x^{2} + 4 xy +2y^{2}$
+> Sous la forme de gauss : $\psi \left( \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} \right) = (x+2y)^{2} - 2y^{2}$
+
+
+> [!info] Méthode de calcul
+> Pour mettre une [[forme quadratique]] sous forme de gauss, il faut procéder une variable à la fois, et faire en sorte, à chaque fois, d'utiliser une [[identités remarquables|identité remarquable]] pour que toutes les références à cette variable soient dans une parenthèse **mise au carré**.
+> 
+> Par exemple, pour $\psi \left( \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} \right) = x^{2} + 4xy + 2y^{2}$, on commence par $x$.
+> On remarque la similitude avec l'[[identités remarquables|identité remarquable]] $(x + 2y)^{2} = x^{2} + 4xy + 4y^{2}$ : les parties avec des $x$ sont les mêmes.
+> 
+> Alors on a :
+> $$\begin{align}
+> \psi \left( \begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix} \right) &= x^{2} + 4xy + 2y^{2}\\
+> &= \left( x^{2} + 4xy + 4y^{2} \right)  - 2y^{2} && \text{terme en plus pour compenser l'id. remarquable} \\
+> &= (x + 2y)^{2} - 2y^{2} && \text{on n'a plus que des carrés}
+> \end{align}$$ 
+