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mesure algébrique.md

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+up:: [[espace affine]]
+title:: "norme signée selon le sens du vecteur directeur de la droite"
+#maths/algèbre #maths/géométrie 
+
+---
+
+> [!definition] Mesure algébrique
+> Soit $\mathcal{E}$ un $\mathbb{R}^{n}$-[[espace affine]]
+> Soit $\vec{v} \in \mathbb{R}^{n}$ un vecteur non nul
+> Soit $d$ une droite de $\mathcal{E}$ dirigée par $\vec{v}$
+> Soient $A\in \mathcal{E}$ et $B \in \mathcal{E}$ deux points distincts
+> 
+> On définit sur $d$ la **mesure algébrique** de $[AB]$ (notée $\overline{AB}$) comme l'unique scalaire tel que $\boxed{\overrightarrow{AB} = \overline{AB}\times\vec{v}}$
+> --- 
+> Si $\mathcal{E}$ est [[espace euclidien|euclidien]], on a :
+> $\overline{AB} = \begin{cases} \dfrac{\|\overrightarrow{AB}\|}{\|\vec{v}\|} & \text{ si } \overrightarrow{AB} \text{ est dans le sens de } \vec{v} \\ - \frac{\|\overrightarrow{AB}\|}{\|\vec{v}\|} & \text{ sinon}\end{cases}$
+> Et donc on a toujours $\|\overrightarrow{AB}\| = \left| \overline{AB} \right|$
+> 
+^definition
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+# Propriétés
+
+ - Toute droite admet une mesure 
+     - évident car toute droite admet un [[vecteur directeur]]