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intégrale absolument convergente.md

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+alias: [ "absolument convergente", "convergence absolue" ]
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+up:: [[intégration généralisée]] 
+title:: "$\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \, dx$ est absolument convergente ssi $\displaystyle \int_{a}^{b} |f(x)| \, dx$"
+#maths/analyse 
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+> [!definition] Absolue convergence
+> Soit $f$ une fonction définie sur $]a, b[$
+> On dit que l'intégrale de $f$ est *absolument convergente* ssi l'intégrale de $|f|$ est convergente.
+> Donc :
+> $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \, dx \text{ est absolument convergente} \iff \int_{a}^{b} |f(x)| \, dx \text{ converge}$
+^definition
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+# Propriétés
+
+> [!definition] Convergence sur $[a;+\infty[$
+> Soit $f \in C^{0}_{pm}([a; +\infty[)$
+> Si $\displaystyle\int_{a}^{+\infty} f(x) \, dx$ est absolument convergente, alors elle est convergente.
+> On a alors :
+> $\displaystyle\left| \int_{a}^{+\infty} f(x) \, dx \right| \leq \int_{a}^{+\infty} |f(x)| \, dx$
+> 
+> [[démonstration convergence sur a;+oo d'une intégrale absolument convergene|démonstration]]
+^convergence-sur-a-infini
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+# Remarques
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+ - Si $f$ est [[fonction continue par morceaux|continue par morceaux]], alors $|f|$ l'est aussi, ce qui justifie que l'on puisse toujours effectivement intégrer $|f|$ quand $f$ est intégrable