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forme exponentielle.md

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+sr-due: 2022-10-18
+sr-interval: 123
+sr-ease: 296
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+up::[[nombre complexe]]
+#maths/analyse/complexes 
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+Soit $z\in\mathbb C$, la _forme exponentielle_ de $z$ est $z=re^{i\theta}$ avec $(r,\theta)\in\mathbb R^2$, et où on sait que $r = |z|$ et $\theta=\arg(z)$
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+# Passage à la [[forme trigonométrique d'un complexe|forme trigonométrique]]
+On connaît la [[Formules d'Euler|formule d'Euler]] suivante : $e^{i\theta} = \cos\theta+i\sin\theta$
+On en déduit que $re^{i\theta} = r\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)$
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+# Passage à la [[forme algébrique]]
+Puisqu'on connait déjà la [[forme trigonométrique d'un complexe|forme trigonométrique]] de $z$, on peut dire :
+$z = r(\cos\theta+i\sin\theta)= (r\cos\theta) + i(r\sin\theta)$
+Or, puisque $(r,\theta)\in\mathbb R^2$, on sait que $(r\cos\theta)\in\mathbb R$, et que $r\sin\theta\in\mathbb R$. On a donc bien une [[forme algébrique]] $z=a+ib$, où $a = r\cos\theta$, et $b=r\sin\theta$
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