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fonction arctangente.md

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+alias: ["arctan", "arctangente"]
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+up::[[fonction tangente]]
+description::"$\mathbb{R} \to \left[ - \frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right]$", "$x \mapsto \arctan(x)$"
+derivative::"$\dfrac{1}{x^{2} + 1}$"
+integral::"$\displaystyle x \arctan(x) - \frac{1}{2} \ln \left( 1+x^{2} \right)$"
+#maths/analyse #maths/trigonométrie
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+----
+
+La fonction $\arctan$ est la [[fonction réciproque]] de la [[fonction tangente]].
+
+$$\begin{align*}
+\arctan :\;& \mathbb{R} \to \left[ - \frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right]\\
+& y \mapsto x \text{ tel que } y=\tan(x)
+\end{align*}$$
+
+# Définition
+La fonction $\tan$ n'est pas [[bijection|bijective]] sur $\mathbb{R}$, mais réduite à l'intervalle $\left[-\dfrac\pi2; \dfrac\pi2\right]$, $\tan/_{[-\frac\pi2;\frac\pi2]}$ est [[fonction continue|continue]] et [[fonction monotone|strictement monotone]], donc elle est [[bijection|bijective]].
+Elle possède donc une [[fonction réciproque]], la fonction $\arctan$ :
+
+$$\begin{aligned}
+\tan : &\left[-\dfrac\pi2; \dfrac\pi2\right] \rightarrow \mathbb{R}\\
+       &x \mapsto \tan(x)
+\end{aligned}$$
+
+$$\begin{aligned}
+\arctan : &\mathbb{R} \rightarrow \left[-\dfrac\pi2; \dfrac\pi2\right]\\
+          &y\mapsto x \text{ tel que } y = \tan(x) \text{ et } y\in\left[-\dfrac\pi2; \dfrac\pi2\right]\
+\end{aligned}$$
+
+# Dérivée
+La [[dérivation|dérivée]] de $\arctan$ est :
+$$\begin{aligned}
+\arctan'(x) &= \dfrac1{\tan'(\arctan x)}\\
+            &= \dfrac1{1+\tan^2(arctan x)}\\
+            &= \dfrac1{1+x^2}
+\end{aligned}$$
+Plus généralement, on a : $(\arctan(u))' = \dfrac{u'}{1+u^2}$
+(en utilisant $(f\circ g)' = f'\times g'\circ f$)
+
+
+# Equations avec des arctangentes
+On commence par poser :
+$$\arctan x = y \iff \left\{ \begin{array}{l} x = \tan y\\\text{et}\\y \in \left[-\dfrac\pi2;\dfrac\pi2\right]\end{array} \right.$$
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