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espace préhilbertien réel.md

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+up:: [[espace préhilbertien]]
+title:: "$(E, \varphi)$", "$E$ un [[espace vectoriel]]", "$\varphi$ une [[forme bilinéaire]] [[forme bilinéaire symétrique|symétrique]], [[forme bilinéaire définie|définie]], [[forme bilinéaire positive|positive]]"
+#maths/algèbre 
+
+---
+
+> [!definition] espace préhilbertien réel
+> Un **espace préhilbertien réel** est un $\mathbb{R}$-[[espace vectoriel]], muni d'une [[forme bilinéaire]] [[forme bilinéaire symétrique|symétrique]], [[forme bilinéaire définie|définie]] et [[forme bilinéaire positive|positive]].
+> 
+> $(E, \varphi)$ est un **espace préhilbertien réel** ssi :
+>  - $E$ est un $\mathbb{R}$-[[espace vectoriel]]
+>  - $\varphi$ est une [[forme bilinéaire]] [[forme bilinéaire symétrique|]], [[forme bilinéaire définie|définie]] et [[forme bilinéaire positive|positive]]
+>      - [[forme bilinéaire|bilinéaire]]
+>      - [[forme bilinéaire symétrique|symétrique]] : $\varphi(x, y) = \varphi(y, x)$
+>      - [[forme bilinéaire définie|définie]] : $\varphi(x, x) = 0 \iff x = \vec{0}$
+>      - [[forme bilinéaire positive|positive]] : $\varphi(x, x) \geq 0$
+^definition
+
+# Propriétés
+Soit $(E, \varphi)$ un espace préhilbertien réel
+
+ - On appelle $\varphi$ le [[produit scalaire]] de cet espace
+     - avec le produit scalaire, on peut définir l'orthogonalité
+
+
+> [!query] Sous-notes de `=this.file.link`
+> ```dataview
+> LIST title
+> FROM -#cours AND -#exercice AND -"daily" AND -#excalidraw AND -#MOC
+> WHERE any(map([up, up.up, up.up.up, up.up.up.up], (x) => econtains(x, this.file.link)))
+> WHERE file != this.file
+> SORT up!=this.file.link, up.up.up.up, up.up.up, up.up, up
+> ```