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dimension d'un espace vectoriel.md

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+---
+alias: "dimension"
+sr-due: 2022-09-11
+sr-interval: 21
+sr-ease: 278
+---
+up::[[espace vectoriel]]
+title::"[[cardinal d'un ensemble]] des [[base d'un espace vectoriel|bases]] de d'un [[espace vectoriel|ev]]"
+#maths/algèbre
+
+----
+Soit $E$ un [[espace vectoriel]].
+On sait que $E$ admet une [[base d'un espace vectoriel|base]].
+**Toutes les bases de $E$ on le même [[cardinal d'un ensemble]]**.
+Ce cardinal commun est appelé _dimension_ de $E$.
+
+# Propriétés
+ - $\{0_E\}$ est un espace vectoriel de dimension 0
+ - toute [[famille de vecteurs génératrice|famille génératrice]] $G$ de $E$ vérifie $\mathrm{card} G \geq \dim E$ 
+ . toute [[famille de vecteurs libre|famille libre]] $L$ de $E$ vérifie $\mathrm{card} L \leq \dim E$
+ - $G$ est une [[base d'un espace vectoriel|base]] de $E$    $\iff$    $\mathrm{card} G = \dim E$
+ - si $H$ est un [[sous espace vectoriel|sev]] de $E$, alors $\dim H \leq \dim E$
+ - si $H$ Est un [[sous espace vectoriel|sev]] de $E$, alors $\dim H = \dim E \;\;\iff\;\; H = E$