from github to this gitea

démonstration convergence sur a;+oo d'une intégrale absolument convergene.md

@@ -0,0 +1,30 @@
+---
+alias: [ "convergence sur [a;+∞[ d'une intégrale absolument convergente" ]
+---
+up:: [[intégrale absolument convergente]] 
+title:: "démonstration que $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} |f(x)| \, dx \text{ CV.} \implies \int_{a}^{+\infty} f(x) \, dx \text{ CV.}$"
+#maths/analyse 
+
+---
+
+# Théorème 
+
+![[intégrale absolument convergente#^convergence-sur-a-infini]]
+
+
+# Démonstration
+Soit $f \in C^0_{pm}([a; +\infty[)$, telle que $\int_{a}^{+\infty} f(x) \, dx$ est absolument convergente
+
+On considère :
+ - $f^{+}(t) = \max(0, f(t))$ (partie positive de $f$)
+ - $f^{-}(t) = \min(0, -f(t))$ (partie négative de $f$)
+On a :
+ - $f = f^{+} - f^{-}$
+ - $f^{+} \in C^0_{pm}([a; +\infty[)$
+ - $f^{-} \in C^0_{pm}([a; +\infty[)$
+Or, on sait que :
+ - $0 \leq f^{+}(x) \leq |f|(x)$
+ - $0 \leq f^{-}(x) \leq |f|(x)$
+Donc, puisque l'intégrale de $f$ est [[intégrale absolument convergente|absolument convergente]], l'intégrale de $|f|$ est convergente.
+Alors, par [[convergence d'intégrales de fonctions comparées|intégrales de fonctions comparées]], on sait que les intégrales de $f^{+}$ et $f^{-}$ convergent.
+