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équation différentielle du premier ordre.md

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+sr-due: 2022-11-19
+sr-interval: 65
+sr-ease: 270
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+up::[[équation différentielle]]
+title:: "contient une fonction et sa [[dérivation|dérivée]]", "$a(x)y'(x) + b(x)y(x) = c(x)$"
+#maths/algèbre #review
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+Des [[équation différentielle|équations différentielles]] dans lesquelles seule la [[dérivation|dérivée]] [[dérivées successives|première]] apparaît.
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+# Forme
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+> [!example] Exemples
+> - $y' + a(x)y = b(x)$ (forme classique)
+> - $y'\ln(y + y') = \cos y$
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+## Forme usuelle
+La forme la plus commune est : $y' + a(x)y = b(x)$
+ - Si elles sont de la forme $m(x)y' + a(x)y = b(x)$, on les ramène à la forme précédente : $y' + \frac{a(x)}{m(x)}y = \frac{b(x)}{m(x)}$
+     - Si $m(x)$ s'annule, on travaille par intervalle
+
+## Equations homogènes
+Les équations pour lesquelles $b(x): x\mapsto 0$ sont dites **homogènes**, ou **sans second membre**
+Elles sont de la forme $y' + a(x)y = 0$
+
+## Equation vérifiant une condition initiale
+Soit une équation $y' +a(x)y = b(x)$, sur un intervalle $I$
+La donnée d'une _condition initiale_ pour cette équation est la donnée de $x_{0}\in I$ et de $y_{0}\in\mathbb{R}$
+Une solution satisfaisant cette _condition initiale_ est une solution $y$ telle que $y(x_{0}) = y_{0}$
+
+## Equations a variables séparées
+Une équation de la forme $f(y)\cdot y' = g(x)$ (ou bien = $(f\circ y)(x)\times y'(x) = g(x)$)
+
+# Propriétés
+
+## Linéarité
+Soient $y_{1}$ et $y_2$ qui vérifient $y_{1}' + a(x)y_{1} = b(x)$ et $y_{2}' + a(x)y_{2} = b(x)$
+On a:
+ - $Y = y_{1} - y_{2}$ est solution de $Y' + a(x)Y = 0$
+
+ - Si $y_{h}$ est solution de $y'+a(x)y = 0$
+     - alors $y_{h} + y_1$ est aussi solution de $y'+a(x)y = b(x)$
+     - On utilise cela pour trouver des solutions
+
+Autrement dit : _la solution générale est la somme d'une solution particulière et de la solution de la forme homogène de l'équation_
+
+
+# Résolution
+## Résoudre une [[équation différentielle du premier ordre#Equations homogènes|equation homogène]]
+On cherche la solution générale de l'équation $y' + a(x)y = 0$
+
+$$\begin{align*}
+y' + a(x)y = 0 &\iff y' = -a(x)y\\
+\text{si } y \text{ ne s'annule pas : } & \iff \frac{y'}{y}= -a(x)\\
+& \iff \big(\ln(|y|)\big)' = -a(x)\\
+\text{si } A' = a :& \iff \ln|y| = -A(x) + \underbrace{C}_{C\in\mathbb{R}}\\
+& \iff |y| = e^{-A(x)+C}\\
+& \iff \left\{ \begin{gathered}
+    y = e^{-A(x)} e^{C}\\
+        \text{ ou }\\
+    y = -e^{-A(x)} e^{C}\\
+    \end{gathered} \right.\\
+\text{on pose } K = \pm e^{C} & \iff y = Ke^{-A(x)}\\
+& \text{On peut aussi avoir } K = 0, \text{ solution lorsque } y \text{ s'annule}
+\end{align*}$$
+
+## Résoudre l'équation complète
+### Méthode par variation de la constante
+$y' + a(x)y = b(x)$
+Une fois que l'on à résolu l'équation sans second membre.
+On à donc trouvé $A$, une primitive de $a$
+
+On pose $y(x) = M(x)e^{-A(x)}$
+Alors : 
+ - $y'(x) = M'(x)e^{-A(x)} - M(x)A'(x)e^{-A(x)}$
+ - Donc : $y'(x) + a(x)y(x) = M'(x)e^{-A(x)} - \underbrace{a(x)M(x)e^{-A(x)}}_{a(x)y(x)} + a(x)y(x)$
+ - $y'(x) + a(x)y(x) = M'(x)e^{-A(x)}$
+ - Si $y$ est solution, alors $M'(x)e^{-A(x)} = b(x)$
+ - $M'(x) = \frac{b(x)}{e^{-A(x)}} = b(x)e^{A(x)}$
+ - Donc : $\displaystyle M = \int b\times e^{A}\text{d} x$
+ - Et $M(x)e^{-A(x)}$ est une solution de l'équation
+**Conclusion :**
+Les solutions s'écrivent :
+$\displaystyle \underbrace{M(x)e^{-A(x)}}_{\text{solution particulière}} + \underbrace{Ke^{-A(x)}}_{\text{solution de l'équation sans second membre}}$
+
+Soit : 
+$e^{-A(x)} (M(x) + K)$
+
+## Résoudre l'équation avec une condition initiale
+Lorsque l'on a aussi une [[équation différentielle du premier ordre#Forme#Equation vérrifiant une condition initiale|condition initiale]], on peut simplement d'abord résoudre l'équation différentielle, et ensuite déduire les valeurs des constantes de cette _condition initiale_.
+
+## Résoudre une équation a variables séparées
+Lorsque l'on a une [[équation différentielle du premier ordre#Forme#Equations a variables séparées|équation a variables séparées]]
+Soit l'équation : $(E) : f(y)y' = g(x)$
+On pose $F' = f$ ($f$ doit être intégrable)
+Alors :
+$(F\circ y)' = y' \times (F'\circ y) = f(y)\times y'$ 
+
+Soit $G' = g$
+$\begin{align*} (E):& f(y)y' = g(x)\\ & (F\circ y)' = G'\\ & F\circ y = G + \text{cste.}\\ \end{align*}$
+