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élément neutre.md

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+up::[[structure algébrique]]
+title::"$e$ tel que $\forall x \in E, x*e = e*x = x$"
+#maths/algèbre
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+Un élément $e\in E$ est appelé _élément neutre_ de $E$ pour la loi $*$ ssi : $\forall a\in E, a*e=e*a=a$
+# Remarque
+ - S'il existe $e\in E$ tel que $\forall a\in E, a*e=a$, on dit que $e$ est _élément neutre à droite_.
+ - S'il existe $e\in E$ tel que $\forall a\in E, e*a=a$, on dit que $e$ est _élément neutre à gauche_
+
+# Propriété
+Si $E$ possède un élément neutre $e$ pour la [[loi de composition interne|loi]] $*$, cet élément neutre est unique.
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+## Démonstration
+On suppose que $E$ possède deux éléments neutres $e$ et $e'$ pour la [[loi de composition interne]] $*$
+Alors: 
+- $e*e' = e$ car $e'$ est élément neutre à droite.
+- $e*e'=e'$ car $e$ est élément neutre à gauche.
+Donc $e = e'$.
+Conclusion: l'élément neutre, s'il existe, est unique.
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