diff --git a/.obsidian/plugins/breadcrumbs/data.json b/.obsidian/plugins/breadcrumbs/data.json
index c977790c..55b2e089 100644
--- a/.obsidian/plugins/breadcrumbs/data.json
+++ b/.obsidian/plugins/breadcrumbs/data.json
@@ -631,7 +631,7 @@
           "prevs"
         ],
         "lock_view": false,
-        "lock_path": "suites finies d'entiers comme fonctions récursives primitives.md"
+        "lock_path": "fonction récursive primitive.md"
       },
       "tree": {
         "collapse": false,
@@ -651,7 +651,7 @@
           "alias": false
         },
         "lock_view": false,
-        "lock_path": "suites finies d'entiers comme fonctions récursives primitives.md"
+        "lock_path": "fonction récursive primitive.md"
       }
     },
     "codeblocks": {
diff --git a/suites finies d'entiers comme fonctions récursives primitives.md b/suites finies d'entiers comme fonctions récursives primitives.md
index 77b63ba3..66a3680f 100644
--- a/suites finies d'entiers comme fonctions récursives primitives.md	
+++ b/suites finies d'entiers comme fonctions récursives primitives.md	
@@ -8,6 +8,7 @@ tags:
 aliases:
 ---
 
+ - i On peut noter $\mathscr{S}$ l'ensemble des suites finies d'entiers (notation de [@coriLogiqueMathematique22003])
 
 > [!proposition]+ Représentation avec des couples
 > Le but est de trouver une fonction qui fasse l'association entre un nombre et un $p$-uplet (une suite de $p$ entiers).
@@ -23,8 +24,20 @@ aliases:
 >    Il se trouve dans la diagonale $p+n$. Les couples avant cette diagonale sont au nombre de $\frac{(p+n)(p+n+1)}{2}$, et le couple $(p, n)$ est le $n^{\text{ème}}$ de sa diagonale.
 >    Cela montre que $\alpha _{2}(p, n) = \frac{1}{2}(p+n)(p+n+1)+n$.
 >    On peut ensuite retrouver $\beta _{2}^{1}$ et $\beta _{2}^{2}$ comme suit (à l'aide de [[schéma mu borné|schémas µ bornés]] et de la [[fonction récursive primitive#^cloture-par-quantification-bornee|clôture par quantification bornée]]) :
->      - $\beta _{2}^{1} = \mu z \leq x \quad (\exists w\leq x,\quad \alpha_2(z, w) = x)$
->      - $\beta _{2}^{2} = \mu z \leq x \quad (\exists w\leq x,\quad \alpha_2(w, z) = x)$
+>      - $\beta _{2}^{1}(x) = \mu z \leq x \quad (\exists w\leq x,\quad \alpha_2(z, w) = x)$
+>      - $\beta _{2}^{2}(x) = \mu z \leq x \quad (\exists w\leq x,\quad \alpha_2(w, z) = x)$
+>    Ces expressions cherchent à trouver le plus petit $z$ que l'on puisse compléter pour former un couple dont l'image par $\alpha_2$ sera bien $x$
+>  - **Suites :**
+>    Les suites finies seront définissables par des couples contenant des couples :
+>    - **Triplets $\alpha_3$**
+>      $\alpha_3(x, y, z) := \alpha _{2}(x, \alpha_2(y, z))$ on représente $(x, y, z)$ comme un couple $(x, t)$ où $t$ est l'entier correspondant à $(y, z)$
+>      avec $\beta _{3}^{1} = \beta_2^{1} \qquad \beta_3^{2}=\beta_2^{1} \circ \beta_2^{2} \qquad \beta_3^{3}=\beta_2^{2} \circ \beta_2^{2}$ 
+>    - **4-uplet $\alpha_4$**
+>      $\alpha_4(x, y, z, w) := \alpha_3(x, y, \alpha_2(z, w)) = \alpha_2(x, \alpha_2(y, \alpha_2(z, w)))$
+>      avec $\beta_4^{1} = \beta_2^{1} \qquad \beta_4^{2} = \beta_3^{2}=\beta_2^{1} \circ \beta_2^{2} \qquad \beta_4^{3}=\beta_2^{1} \circ \beta_3^{3}=\beta_2^{1}\circ\beta_2^{2}\circ\beta_2^{2} \qquad \beta_4^{4}=\beta_2^{2}\circ\beta_3^{3}=\beta_2^{2} \circ\beta_2^{2}\circ\beta_2^{2}$
+>    - **en général $\alpha _{p}$**
+>      $\alpha _{p+1}(x_1, x_2, \dots, x_{p}, x_{p+1}) := \alpha _{p}(x_1, x_2, \dots, \alpha_2(x_{p}, x_{p+1}))$
+>      avec $\beta _{p+1}^{1} = \beta_p^{1} \qquad \beta _{p+1}^{2}=\beta_p^{1}  \qquad \cdots \qquad \beta _{p+1}^{p}=\beta_2^{1} \circ\beta _{p}^{p} \qquad \beta _{p+1}^{p+1}=\beta_2^{2}\circ\beta _{p}^{p}$
 
 
 > [!proposition]+ Seconde approche