MacBook-Pro-de-Oscar.local 2026-6-8:1:51:52

filtre de fréchet.md

@@ -6,17 +6,19 @@ tags:
 aliases:
 ---
 
-> [!definition] Définition
-> On définit $\mathscr{F}$ le filtre de Fréchet par : 
+> [!definition] [[filtre de fréchet]]
+> Soit $X$ un ensemble infini.
+> On définit $\mathscr{F}$ le [[filtre]] de Fréchet par : 
 > $A \in \mathscr{F}$ si $X - A$ est fini
+> - i on pourra le noter $\mathscr{F}_{\mathrm{cof}}$
+> 
+> > [!démonstration]- Démonstration que c'est bien un filtre
+> > 1. $X - X = \emptyset$ est bien fini
+> > 2. soient $A, B \in \mathscr{F}$ on a :
+> >    $X - (A \cap B) = (X-A) \cup (X-B)$ 
+> >    or la réunion de deux ensembles finis est finie d'où il suit que $A \cap B \in \mathscr{F}$
+> > 3. Soit $A \in \mathscr{F}$ avec $A \subseteq B$ 
+> >    $X - B \subseteq X - A$ or on sait que $X - A$ est fini, et qu'une partie d'un ensemble fini est finie, d'où on a que $X - B$ est fini et donc que $B \in \mathscr{F}$
 ^definition
 
-# Démonstration que c'est bien un filtre
-
- 1. $X - X = \emptyset$ est bien fini
- 2. soient $A, B \in \mathscr{F}$ on a :
-    $X - (A \cap B) = (X-A) \cup (X-B)$ 
-    or la réunion de deux ensembles finis est finie d'où il suit que $A \cap B \in \mathscr{F}$
- 3. Soit $A \in \mathscr{F}$ avec $A \subseteq B$ 
-    $X - B \subseteq X - A$ or on sait que $X - A$ est fini, et qu'une partie d'un ensemble fini est finie, d'où on a que $X - B$ est fini et donc que $B \in \mathscr{F}$