MacBook-Pro-de-Oscar.local 2026-3-22:20:9:57

.obsidian/plugins/breadcrumbs/data.json

@@ -631,7 +631,7 @@
           "prevs"
         ],
         "lock_view": false,
-        "lock_path": "fonction d'ackermann de cori et lascar.md"
+        "lock_path": "S2 LOGOS . incomplétude et indécidabilité.md"
       },
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@@ -651,7 +651,7 @@
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     "codeblocks": {

S2 LOGOS . incomplétude et indécidabilité.md

@@ -19,4 +19,5 @@ BC-list-note-field: down
         - [[divisibilité#^recursive-primitive|prédicat de divisibilité]]
         - [[fonction pi|fonction π]]
         - [[suites finies d'entiers comme fonctions récursives primitives]]
+    - [[fonction d'ackermann de cori et lascar]] (qui n'est pas récursive primitive)
 - [[ensemble récursif primitif]]

fonction d'ackermann de cori et lascar.md

@@ -138,12 +138,33 @@ aliases:
 >      - dem $(\lambda xy. x+y)(x, y) \leq \xi _{0}^{1}(\sup\limits(x, y, 1))$ puisque $x+y \leq 2^{\sup\limits(x, y, 1)}$
 >  - Les fonction linéaires $\lambda x. kx$ où $k$ est un entier quelconque
 >      - dem $(\lambda x. kx)(x) \leq f(\sup\limits(x, k))$ 
+>  - i on utilise la notation $\overline{x}$, voir [[fonction récursive primitive#^notations|notation ̅x]]
 
 > [!proposition]+ $\xi _{n} \in C_{n}$
 > La fonction $\xi _{n}$ appartient à $C_{n}$
 > > [!démonstration]- Démonstration
-> > On sait que $\forall x,\quad \xi _{n}(x) \geq x$ 
+> > On sait que $\forall x,\quad \xi _{n}(x) \geq x$ ([[fonction d'ackermann de cori et lascar#^lemme-1|Lemme 1]])
+> > Donc, $\forall x,\quad, \xi _{n}^{2}(x) = \xi _{n}(\xi _{n}(x)) \geq \xi _{n}(x)$
+> > Ainsi, on peut affirmer que $\exists k,\quad \exists A,\forall x,\quad \xi _{n}(x) \leq \xi _{n}^{k}(\sup\limits(x, A))$
+> > puisque c'est vrai en particulier pour $k = 2$ et $A = 0$ (en effet, $\sup\limits(x, 0) = x$ car on est sur $\mathbb{N}$)
+> > Cela établit bien que $\xi _{n} \in C_{n}$
 
+> [!proposition]+ Stabilité par fonction inférieure
+> Soient $f, g \in \mathscr{F}_{p}$
+> Si $g \in C_{n}$ et si $\forall \overline{x},\quad f(\overline{x}) \leq g(\overline{x})$ (si $f$ est toujours inférieure à $g$)
+> alors $f \in C_{n}$
+> > [!démonstration]- Démonstration
+> > Cela est assez évident :
+> > Puisque $g \in C_{n}$, on sait que $\exists k,\quad \exists A,\quad \forall \overline{x},\quad g(\overline{x}) \leq \xi _{n}(\sup\limits(\overline{x}, A))$
+> > Et comme $\forall \overline{x},\quad f(\overline{x}) \leq g(\overline{x})$ on obtient directement :
+> > $\exists k,\quad \exists A,\quad \forall \overline{x},\quad f(\overline{x}) {\color{#606060}\,\leq g(\overline{x}) \leq\,} \xi _{n}(\sup\limits(\overline{x}, A))$
+> > Ce qui montre bien que $\exists k,\quad \xi _{n} \text{ domine } f$ et donc que $f \in C_{n}$
+
+> [!proposition]+ Clôture par composition
+> Soient $f_1, f_2, \dots, f_{m} \in \mathscr{ F_{p}} \cap C_{n}$ des fonctions à $p$ variables de $C_{n}$
+> Soit $g$ une fonction à $m$ variables de $C_{n}$
+> $g(f_1, f_2, \dots, f_{m})$ est aussi dans $C_{n}$
+> 
 # Exemples
 
 

fonction récursive primitive.md

@@ -36,7 +36,6 @@ header-auto-numbering:
 >  - $E$ contient toutes les projections $P_{p}^{i}$ pour tous les entiers $p$ et $i$ avec $1 \leq i \leq p$
 >  - $E$ contient la fonction successeur $S$
 >  - $E$ est clos par composition, c'est-à-dire que si $n,p \in \mathbb{N}$ , si $f_1, f_2, \dots, f_{n}$ sont des fonctions de $\mathscr{F}_{p}$ qui sont aussi dans $E$, et si $g \in \mathscr{F}_{n}$ est aussi dans $E$, alors la fonction composée $g(f_1, f_2, \dots, f_{n})$ appartient à E
->      - i on accepte l'abus de notation $g(f_1, f_2, \dots, f_{n})$ pour la composition
 >  - $E$ est clos par récurrence, cc'est-à-dire que si $p \in \mathbb{N}$, si $g \in \mathscr{F}_{p}$ et $h \in \mathscr{F}_{p+2}$ sont dans $E$, alors la fonction $f \in \mathscr{F}_{p+1}$ définie par récurrence à partir de $g$ et $h$ est aussi dans $E$ : $f : \begin{cases} f(x_1,x_2, \dots, x_{p}, 0) = g(x_1, x_2, \dots, x_{p})\\ f(x_1, x_2, \dots, x_{p}, y+1) = h(x_1, x_2, \dots, x_{p}, y, f(x_1, x_2, \dots, x_{p}, y)) \end{cases}$
 >      - i on pourra noter $f = \rho(g, h)$
 > 
@@ -53,6 +52,12 @@ header-auto-numbering:
 >      - i on pourra noter $f = \rho(g, h)$
 > 
 
+> [!info] Notations
+> Pour raccourcir les notations, et quand l'arité des fonctions est claire, on utilise $\overline{x}$ pour noter tout un groupe de paramètres. Par exemple :
+> $f(\overbracket{x_1, x_2, \dots, x_{p}})$ deviendra $f(\overline{x})$
+> $\forall \overbracket{x_1, x_2, \dots, x_{p}}, \forall y,\quad f(\overbracket{x_1, x_2, \dots, x_{p}}, y+1) = h(\overbracket{x_1, x_2, \dots, x_{p}}, y, f(\overbracket{x_1, x_2, \dots, x_{p}}, y))$ deviendra $\forall \overline{x}, \forall y,\quad f(\overline{x}, y+1) = h(\overline{x}, y, f(\overline{x}, y))$
+^notations
+
 # Remarques
 
 > [!info] Définition par le bas