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fonction d'ackermann de cori et lascar.md

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 >      - dem $(\lambda xy. x+y)(x, y) \leq \xi _{0}^{1}(\sup\limits(x, y, 1))$ puisque $x+y \leq 2^{\sup\limits(x, y, 1)}$
 >  - Les fonction linéaires $\lambda x. kx$ où $k$ est un entier quelconque
 >      - dem $(\lambda x. kx)(x) \leq f(\sup\limits(x, k))$ 
+>  - i on utilise la notation $\overline{x}$, voir [[fonction récursive primitive#^notations|notation ̅x]]
 
 > [!proposition]+ $\xi _{n} \in C_{n}$
 > La fonction $\xi _{n}$ appartient à $C_{n}$
 > > [!démonstration]- Démonstration
-> > On sait que $\forall x,\quad \xi _{n}(x) \geq x$ 
+> > On sait que $\forall x,\quad \xi _{n}(x) \geq x$ ([[fonction d'ackermann de cori et lascar#^lemme-1|Lemme 1]])
+> > Donc, $\forall x,\quad, \xi _{n}^{2}(x) = \xi _{n}(\xi _{n}(x)) \geq \xi _{n}(x)$
+> > Ainsi, on peut affirmer que $\exists k,\quad \exists A,\forall x,\quad \xi _{n}(x) \leq \xi _{n}^{k}(\sup\limits(x, A))$
+> > puisque c'est vrai en particulier pour $k = 2$ et $A = 0$ (en effet, $\sup\limits(x, 0) = x$ car on est sur $\mathbb{N}$)
+> > Cela établit bien que $\xi _{n} \in C_{n}$
 
+> [!proposition]+ Stabilité par fonction inférieure
+> Soient $f, g \in \mathscr{F}_{p}$
+> Si $g \in C_{n}$ et si $\forall \overline{x},\quad f(\overline{x}) \leq g(\overline{x})$ (si $f$ est toujours inférieure à $g$)
+> alors $f \in C_{n}$
+> > [!démonstration]- Démonstration
+> > Cela est assez évident :
+> > Puisque $g \in C_{n}$, on sait que $\exists k,\quad \exists A,\quad \forall \overline{x},\quad g(\overline{x}) \leq \xi _{n}(\sup\limits(\overline{x}, A))$
+> > Et comme $\forall \overline{x},\quad f(\overline{x}) \leq g(\overline{x})$ on obtient directement :
+> > $\exists k,\quad \exists A,\quad \forall \overline{x},\quad f(\overline{x}) {\color{#606060}\,\leq g(\overline{x}) \leq\,} \xi _{n}(\sup\limits(\overline{x}, A))$
+> > Ce qui montre bien que $\exists k,\quad \xi _{n} \text{ domine } f$ et donc que $f \in C_{n}$
+
+> [!proposition]+ Clôture par composition
+> Soient $f_1, f_2, \dots, f_{m} \in \mathscr{ F_{p}} \cap C_{n}$ des fonctions à $p$ variables de $C_{n}$
+> Soit $g$ une fonction à $m$ variables de $C_{n}$
+> $g(f_1, f_2, \dots, f_{m})$ est aussi dans $C_{n}$
+> 
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