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fonction d'ackermann de cori et lascar.md

@@ -113,6 +113,7 @@ aliases:
 >    >   Et, en particulier, comme on a supposé que $\xi _{n}^{k}(x) \geq \xi _{m}^{k}(x)$, on peut donc conclure que $\xi _{n}\circ \xi _{n}^{k}(x) \geq \xi _{m} \circ \xi _{m}^{k}(x)$, autrement dit :
 >    >   $\xi _{n}^{k+1}(x) \geq \xi _{m}^{k+1}(x)$
 >    >   
+^lemme-4
 
 ## Domination
 
@@ -160,7 +161,7 @@ aliases:
 > > $\exists k,\quad \exists A,\quad \forall \overline{x},\quad f(\overline{x}) {\color{#606060}\,\leq g(\overline{x}) \leq\,} \xi _{n}(\sup\limits(\overline{x}, A))$
 > > Ce qui montre bien que $\exists k,\quad \xi _{n} \text{ domine } f$ et donc que $f \in C_{n}$
 
-> [!proposition]+ Clôture par composition
+> [!proposition]+ Lemme 5 – Clôture par composition
 > Soient $f_1, f_2, \dots, f_{m} \in \mathscr{ F_{p}} \cap C_{n}$ des fonctions à $p$ variables de $C_{n}$
 > Soit $g$ une fonction à $m$ variables de $C_{n}$
 > $g(f_1, f_2, \dots, f_{m})$ est aussi dans $C_{n}$
@@ -171,8 +172,25 @@ aliases:
 > > Posons $B = \sup\limits(A_1, A_2, \dots, A_{m}, A)$ et $h = \sup\limits(k_1, k_2, \dots, k_{m})$
 > > Il est alors évident que :
 > > $\forall 1 \leq i \leq m,\quad \forall \overline{x}, f_{i}(\overline{x}) \leq \xi _{n}^{h}(\sup\limits(\overline{x}, B))$
+> > et que $\forall \overline{x},\quad g(\overline{x})\leq \xi _{n}^{k}(\sup\limits(\overline{x}, B))$
+> > Alors, en passant les $f_1, f_2, \dots, f_{m}$ en argument de $g$ on obtient :
+> > $\forall \overline{x},\quad g(f_1(\overline{x}), f_2(\overline{x}), \dots, f_{m}(\overline{x}))  \leq \xi _{n}^{k}(\sup\limits(f_1(\overline{x}), f_2(\overline{x}), \dots, f_{m}(\overline{x}), B))$
+> > Et, par la majoration de tous les $f_{i}$ que l'on a déjà faîte (et car $\xi _{n}^{k}$ est croissante et respecte $\xi _{n}^{k}(x) > x$) , on obtient :
+> > $\forall \overline{x},\quad g(f_1(\overline{x}), f_2(\overline{x}), \dots, f_{m}(\overline{x})) \leq \xi _{n}^{k}(\xi _{n}^{h}(\sup\limits(\overline{x}, B)))$
+> > Or, par les propriétés du [[fonction d'ackermann de cori et lascar#^lemme-4|Lemme 4]] on a $\xi _{n}^{k} \circ \xi _{n}^{h} = \xi _{n}^{k+h}$, donc :
+> > $\forall \overline{x},\quad g(f_1(\overline{x}), f_2(\overline{x}), \dots, f_{m}(\overline{x})) \leq \xi _{n}^{k+h}(\sup\limits(\overline{x}, B))$
+> > Ce qui montre bien que $g(f_1, f_2, \dots, f_{m}) \in C_{n}$
+^lemme-5
 
-$\frac{1}{}$
+> [!proposition]+ Lemme 6
+> Pour tous entiers $n, k$ et $x$ on a :
+> $\xi _{n}^{k}(x) \leq \xi _{n+1}(x+k)$
+> > [!démonstration]- Démonstration
+> > On procède par récurrence sur $k$
+> >  - **Initialisation :** Pour $k=0$ et $k=1$, l'égalité est claire par croissance de $\xi _{n}$
+> >  - **Récurrence :** Supposons que $\xi _{n}^{k}(x) \leq \xi _{n+1}(x+k)$
+> >    
+^lemme-6
 
 # Exemples