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flashcards algèbre.md
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@@ -6,7 +6,7 @@ propriétés d'un semi groupe
??
une loi de composition **interne**
et **associative**
<!--SR:!2024-05-13,326,192!2023-10-24,98,292-->
<!--SR:!2024-05-13,326,192!2023-12-17,48,272-->
propriétés d'un groupe
??
@@ -21,12 +21,12 @@ propriétés d'un monoïde
une loi de composition **interne**
et **associative**
Il existe un **élément neutre**
<!--SR:!2023-11-13,32,152!2024-07-23,397,272-->
<!--SR:!2024-01-15,56,152!2024-07-23,397,272-->
l'**ordre d'un groupe** est...
??
le _nombre d'éléments_ de son ensemble sous-jacent (pour un groupe)
<!--SR:!2023-10-28,365,312!2025-03-02,581,292-->
<!--SR:!2028-03-01,1584,332!2025-03-02,581,292-->
l'**ordre** d'un **élément** $a$ d'un groupe est...
??
@@ -64,7 +64,7 @@ $\mathcal{E}$ est un [[espace affine]] ssi :
- [[relation de chasles]]
- $\forall O \in \mathcal{E}, \quad \forall v \in E, \quad \exists!A \in E, \quad \overrightarrow{OA} = \vec{v}$
- pour toute translation, il existe une image unique pour chaque point
<!--SR:!2023-10-21,9,153-->
<!--SR:!2023-11-25,5,130-->
espace affine engendré par La famille de points $(\mathcal{A}_{i})$
@@ -100,7 +100,7 @@ Montrer que $F$ est un [[sous espace vectoriel]] de $E$
Somme d'espaces vectoriels $E+F$
?
$E + F = \{ e + f \mid e \in E \wedge f \in F \}$
<!--SR:!2023-10-23,171,273-->
<!--SR:!2025-02-17,476,273-->
Théorème des bases incomplètes
@@ -156,7 +156,7 @@ $b(x, y) = \,^T\!x \cdot B \cdot y$
Définition d'un produit scalaire
??
[[forme bilinéaire]] [[forme bilinéaire symétrique|symétrique]] [[forme bilinéaire définie|définie]] [[forme bilinéaire positive|positive]]
<!--SR:!2023-12-01,124,282!2023-10-18,92,322-->
<!--SR:!2023-12-01,124,282!2023-12-16,47,302-->
### Endomorphismes
@@ -169,7 +169,7 @@ endomorphisme symétrique
??
$\langle \varphi(u), v \rangle = \langle u, \varphi(v) \rangle$
Sur $\mathbb{R}$, cela est équivalent à dire que la matrice de l'endomorphisme est symétrique
<!--SR:!2023-11-12,31,242!2023-11-08,27,264-->
<!--SR:!2024-02-13,85,242!2024-02-15,87,264-->
endomorphisme adjoint d'un endomorphisme $f$
??
@@ -180,7 +180,7 @@ matrice adjointe de $A$
??
Notée $A^{*}$
Sur, $\mathbb{C}$, la **transconjuguée** : $A^{*} = \,^T \,\overline{A}$
<!--SR:!2023-10-17,79,302!2024-05-11,212,303-->
<!--SR:!2024-11-18,385,322!2024-05-11,212,303-->
endomorphisme normal
??
@@ -191,7 +191,7 @@ $f \circ f^{*} = f^{*} \circ f$
spectre d'un endomorphisme linéaire
??
ensemble des valeurs propres d'un endomorphisme
<!--SR:!2023-11-23,116,262!2023-11-14,33,263-->
<!--SR:!2023-11-23,116,262!2024-04-13,145,283-->
@@ -208,10 +208,10 @@ ensemble des valeurs propres d'un endomorphisme
Matrice de rotation en 2D (angle $\theta$) ::: $\large\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}$
<!--SR:!2023-10-22,10,130!2024-11-30,521,304-->
<!--SR:!2023-11-05,6,130!2024-11-30,521,304-->
Matrice de symétrie en 2D (angle $\theta$) ::: $\large \begin{pmatrix}\cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta & -\cos \theta\end{pmatrix}$
<!--SR:!2023-10-21,9,170!2023-12-21,230,270-->
<!--SR:!2023-11-04,5,150!2023-12-21,230,270-->
[[direction d'un espace affine]] ::: Ensemble des vecteurs formés par deux points d'un [[espace affine]]
<!--SR:!2025-05-13,691,313!2024-02-16,162,233-->